La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil en la agroindustria porque permite modelar y resolver sistemas dinámicos que cambian con el tiempo, como el secado, la fermentación, el control de temperatura, la irrigación automatizada, entre otros. Convierte ecuaciones diferenciales (difíciles de manejar) en ecuaciones algebraicas (más fáciles de resolver), lo que permite analizar el comportamiento del sistema y diseñar procesos más eficientes.

Ejercicio teórico:

En una planta agroindustrial, se está diseñando un sistema automático para el secado de café. La dinámica del calentamiento del aire en el secador se describe por la siguiente ecuación diferencial de primer orden:

    dT(t)/dt + 4T(t) = 8u(t)

donde:

- T(t): temperatura del aire (°C) en función del tiempo

- u(t): función escalón que representa la entrada de calor

- Condición inicial: T(0) = 0

Solución usando transformada de Laplace:

A. Aplicación de la transformada de Laplace

Aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:

    L{dT(t)/dt} + 4L{T(t)} = L{8u(t)}

    sT(s) - T(0) + 4T(s) = 8/s

    sT(s) + 4T(s) = 8/s

    T(s)(s + 4) = 8/s

    T(s) = 8 / [s(s + 4)]

B. Transformada inversa y solución en el tiempo

Para encontrar T(t), aplicamos fracciones parciales:

    8 / [s(s + 4)] = A/s + B/(s + 4)

    8 = A(s + 4) + Bs

Resolviendo el sistema:

    A = 2, B = -2

Entonces:

    T(s) = 2/s - 2/(s + 4)

    T(t) = 2 - 2e^(-4t)

Resultado final:

    T(t) = 2 - 2e^(-4t) (°C)